Gagner de l'argent Jeux de casino Blackjack Monty Hall

Le problème de Monty Hall est un casse-tête probabiliste inspiré du jeu télévisé américain Let's Make a Deal. Voici les données de base du problème de Monty Hall : soient trois portes cachant soit une chèvre soit une superbe voiture, l'automobile étant derrière une seule porte et deux chèvres se cachant derrière les deux autres portes.

Enoncé du problème

Supposez que vous êtes sur le plateau d'un jeu télévisé, face à trois portes et que vous devez choisir d'en ouvrir une seule, en sachant que derrière l'une d'elles se trouve une voiture et derrière les deux autres des chèvres. Vous choisissez une porte, disons la numéro 1, et le présentateur, qui lui sait ce qu'il y a derrière chaque porte, ouvre une autre porte, disons la numéro 3, porte qui une fois ouverte découvre une chèvre. Il vous demande alors : « désirez-vous ouvrir la porte numéro 2 ? ». À votre avis, est-ce à votre avantage de changer de choix et d'ouvrir la porte 2 plutôt que la porte 1 initialement choisie ?

Solution

Si l'on demande une réponse rapide et intuitive, deux points de vue incompatibles s'opposent:

• Le premier affirme qu'après ouverture de la porte, il reste deux portes, chacune ayant tout autant de chances de cacher la voiture. On a donc tout autant de chances de gagner avec changement que sans changement.
• Le second affirme que si l'on ne change pas de porte, on gagne si et seulement si on avait fait le bon choix au départ. Or ce choix avait une chance sur trois d'être bon. Il y a donc 1/3 de chances de gagner sans changer, 2/3 de chances de gagner en changeant.

La solution 2/3-1/3 s'impose, en particulier après la réalisation de simulations d'un grand nombre de tirages.

Argumentation

On sait que la porte ouverte par le présentateur n'est pas la bonne et n'est pas celle choisie par le joueur. Celle qu'on a choisie n'aurait jamais pu être ouverte, donc l'ouverture ne donne aucune nouvelle information sur la porte choisie à l'origine. En revanche la porte non choisie non ouverte aurait pu être choisie pour être ouverte… sauf si c'est la bonne. Le fait qu'elle n'ait pas été choisie augmente donc les soupçons dans son cas.

Preuve

Un logiciel a été conçu pour reproduire cette experience un million de fois afin d’étudier les probabiliés, et voici les résultats:
Après 1 000 000 parties...
Le taux de réussite (le candidat remporte la voiture) sans effectuer de changement (du choix initial) est de 0,333571 (soit 33,3%)
Le taux de réussite en effectuant un changement est de 0,666429 (66,7%)

La simulation ci-dessus confirme les résultats théoriques d'1/3 et de 2/3 et ce d'autant plus que le nombre d'itérations est important ; on peut calculer la probabilité d'avoir de tels résultats en supposant que la vraie probabilité est 1/2-1/2, elle est ridicule (d'autant que personne n'a rapporté de simulation apportant un résultat contraire ; la confirmation du résultat 1/3-2/3 ne repose pas seulement sur les expériences faites, mais sur leur reproductibilité).

Résolution statistique

L'énoncé renvoie en définitive à un problème de probabilité conditionnelle et selon la formulation générale du théorème de Bayes:

• Soit A un évènement quelconque,
• Soit B1,B2,...,Bn est un ensemble d'évènements à la fois exhaustifs et mutuellement exclusifs

Alors pour tout i, on a:

Considérons le cas où la porte 3 a été choisie et aucune porte n'est encore ouverte. La probabilité que la voiture soit derrière la porte 2 p(F2) est de 1/3, probabilité qui serait en outre exactement la même pour chaque porte.
La probabilité que le présentateur ouvre la porte 1 p(O1) est alors de 1/2. En effet, le candidat ayant choisi la porte 3 et le présentateur sachant ce que cache chaque porte:

• Soit la voiture est derrière la porte 1 : le présentateur ouvrira la porte 2.
• Soit la voiture est derrière la porte 2 : le présentateur ouvrira la porte 1.
• Soit la voiture est derrière la porte 3 : le présentateur ouvrira la porte 1 ou le présentateur ouvrira la porte 2 (équiprobabilité 1/2)

La probabilité que le présentateur ouvre la porte 1 sachant que la voiture est derrière la porte 2 est donc p(O1|F2) = 1. La possibilité que la voiture soit derrière la porte 2 sachant que le présentateur ouvre la porte 1 est donc :